Uno dei problemi classici che portarono al concetto di derivata è quello della determinazione della retta tangente a una curva in un punto.
Per ogni conica la tangente in un punto P è quella retta che interseca la conica solo in P. Ma questa definizione non è sempre corretta.
La retta tangente t a una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P.
IL RAPPORTO INCREMENTALE
Dati una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a;b], e un punto del suo grafico A(c;f(c)), incrementando l’ascissa di A di una quantità h otteniamo il punto B(c+h;f(c+h))
Consideriamo gli incrementi ∆x = xB - xA = h
∆y = yB - yA = f(c+h) - f(c)
Si chiama rapporto incrementale il numero
Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta secante passante per A e B.
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Attribuendo a h valori sempre più piccoli, il punto B tende a sovrapporsi al punto A e la retta secante tende a diventare tangente alla curva in A. Il coefficiente angolare della retta secante, cioè il rapporto incrementale, tende al coefficiente angolare della retta tangente, che viene chiamato derivata della funzione.
La derivata della funzione y=f(x) nel punto c interno all’intervallo [a;b] è il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f(c) e si indica con f’(c)
Una funzione si dice derivabile in un punto c se:
- La funzione è definita in un intorno del punto c;
- Esistono il limite destro e sinistro del rapporto incrementale per h→0 e essi coincidono;
- Questo limite è un numero finito.